设 ${\displaystyle f(x)\in C[a,b],f(x)\in D(a,b)}$, 则 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上单调增等价于 ${\displaystyle f^{\prime }(x)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (a,b)}$. 同理, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上单调减等价于 ${\displaystyle f^{\prime }(x)\le 0,\mathrm{\forall }x\in (a,b)}$.

${\displaystyle f^{\prime }(x)>0,\mathrm{\forall }x\in (a,b)\Rightarrow f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上严格单增.

${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle [a,b]}$上严格单调增 ${\displaystyle \iff f^{\prime }(x)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (a,b)}$, 且对 ${\displaystyle \mathrm{\forall }[\alpha ,\beta ]\subset (a,b)}$, 不恒有 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=0}$.

可导函数的极值点是 驻点.
这是函数取到极值的必要条件, 由 Fermat引理 是显然的.

设 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处连续, 在 ${\displaystyle o({\hat{x}}_0)}$ 内可导, 则:

1. 若 ${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)<0,& x\in O_{-}({\hat{x}}_0),\\ f^{\prime }(x)>0,& x\in O_{+}({\hat{x}}_0),\end{array}}$ 则 ${\displaystyle x_0}$ 是严格极小值点.
2. 若 ${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)>0,& x\in O_{-}({\hat{x}}_0),\\ f^{\prime }(x)<0,& x\in O_{+}({\hat{x}}_0),\end{array}}$ 则 ${\displaystyle x_0}$ 是严格极大值点.

设 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处二阶可导, 且 ${\displaystyle f^{\prime }(x_0)=0}$, 则

1. 若 ${\displaystyle f^{″}(x_0)>0}$, 则 ${\displaystyle x_0}$ 是严格极小值点.
2. 若 ${\displaystyle f^{″}(x_0)<0}$, 则 ${\displaystyle x_0}$ 是严格极大值点.

设 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处 ${\displaystyle n}$ 阶可导 ${\displaystyle (n\ge 2)}$,

则 ${\displaystyle n}$ 是奇数时, ${\displaystyle x_0}$ 不是极值点; ${\displaystyle n}$ 是偶数时, ${\displaystyle x_0}$ 是严格极值点, 且若 ${\displaystyle f^{(n)}(x_0)>0}$, ${\displaystyle x_0}$ 是严格极小值点; 若 ${\displaystyle f^{(n)}(x_0)<0}$, ${\displaystyle x_0}$ 是严格极大值点.

1. 设 ${\displaystyle f(x)\in C[a,b]}$, 设可能的极值点为 ${\displaystyle x_1,\dots ,x_p}$, 如果个数有限, 那么

2. 对区间 ${\displaystyle I}$, 若 ${\displaystyle f(x)\in C(I)}$, 且在 ${\displaystyle I}$ 上有唯一的极大 (小) 值点, 则该点必为最大 (小) 值点. 特别地, 设 ${\displaystyle f(x)\in C[a,b]\cap D(a,b)}$, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (a,b)}$ 上只有唯一的驻点, 且是极大 (小) 值点, 那么此点一定是最大 (小) 值点.

对区间 ${\displaystyle I}$, 若 ${\displaystyle \mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in I,\mathrm{\forall }t\in (0,1)}$:

则称 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle I}$ 上是下凸函数. 若将不等号反向, 称 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle I}$ 上是上凸函数.
若不等式不能取等, 又可以定义严格下凸函数、严格上凸函数.

若 ${\displaystyle f(x),g(x)}$ 在 ${\displaystyle I}$ 上是下凸, 则 ${\displaystyle max\{f(x),g(x)\}}$ 在 ${\displaystyle I}$ 上是下凸.

${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle I}$ 上下凸 ${\displaystyle \iff \mathrm{\forall }{x}_1,x_2,x_3\in I(x_1<x_2<x_3)}$:

设 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle I}$ 上可导, 则 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle I}$ 上下凸 ${\displaystyle \iff \mathrm{\forall }x,x_0\in I:f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}$.